Радиан

источник wiki

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу^[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. Для примера: прямой угол в градусной мере имеет 90 угловых градусов (по договоренности, это ниоткуда не следует). Тот самый угол в радианной мере имеет ${\displaystyle \pi /2}$ радиан ${\displaystyle \approx }$ 1,571 радиан.^[3]. Из определения следует, что величина полного угла в радианной мере равна 2π радиан (см. рис. справа). В градусной мере полный угол имеет 360 угловых градусов.


Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла^[4][5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}$, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}$, — то до шестого знака после запятой^[11]:

${\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}$